摘要：針對分析振蕩器時(shí)缺乏合理的描述方法，提出從理想振蕩器的輸出形式出發(fā)，得到了種用非線性隨機(jī)微分方程來描述振蕩器行為的統(tǒng)方法，討論了該模型的合理性，并給出了該模型周期解的穩(wěn)定性條件，為模型的實(shí)際使用奠定了基礎(chǔ)．
關(guān)鍵詞：振蕩器；周期解；穩(wěn)定性
振蕩器是電子線路中為重要的電子器件之，它為諸多領(lǐng)域提供頻率的基準(zhǔn)，廣泛應(yīng)用于通信、郵電、電子、航空航天、儀器儀表等的設(shè)備與系統(tǒng)中．如何對振蕩器建模，從而分析振蕩器并提高其性能具有重要意義．就目前而言，關(guān)于振蕩器的頻率穩(wěn)定性的方法研究主要集中在外，其中，Ｌｅｅｓｏｎ提出的經(jīng)驗(yàn)化模型方法是采用線性時(shí)不變系統(tǒng)的理論來進(jìn)行研究的．Ｓａｕｖａｇｅ則從數(shù)學(xué)原理上證明了Ｌｅｅｓｏｎ模型的有效性．Ｌｅｅｓｏｎ的經(jīng)驗(yàn)化模型盡管對實(shí)際振蕩器的設(shè)計(jì)具有定的指導(dǎo)價(jià)值，但是Ｌｅｅｓｏｎ模型并沒有描述
相位噪聲產(chǎn)生的全部機(jī)理．此外，Ｌｅｅｓｏｎ模型中的些關(guān)鍵參數(shù)必須通過實(shí)際測量才能得到，因而不能預(yù)測振蕩器的相位噪聲．Ｈａｊｉｍｉｒｉ等則是吸取了Ｌｅｅｓｏｎ模型和在此基礎(chǔ)上發(fā)展得到的其他模型在振蕩器設(shè)計(jì)中便于運(yùn)用的特點(diǎn)，引入線性周期時(shí)變系統(tǒng)理論，提出了分析相位噪聲的時(shí)變相位噪聲模型．Ｄｅｍｉｒ等則是從描述振蕩器的非線性自治模型出發(fā)，由于穩(wěn)態(tài)周期解的任意時(shí)間平移向量仍然是振蕩器系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解，考慮到噪聲與狀態(tài)變量相比足夠小時(shí)，可以在其中直接加上引入的噪聲．然后對穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行擾動(dòng)分析，不僅引入了正則擾動(dòng)項(xiàng)，而且還引入了對時(shí)間變量的擾動(dòng)．并在穩(wěn)態(tài)點(diǎn)處進(jìn)行次展開，得到了線性周期時(shí)變系統(tǒng)，后由Ｆｌｏｑｕｅｔ理論，得到了振蕩器穩(wěn)態(tài)周期解的導(dǎo)數(shù)所滿足方程的解，從而得到噪聲引起的相位噪聲．
綜合目前的研究方法，或者直接建立相應(yīng)的線性系統(tǒng)進(jìn)行分析，或者對原非線性系統(tǒng)線性化處理后再研究．由于振蕩器在開始起振的階段，其閉環(huán)增益幅度要大于１，才能將振蕩器內(nèi)部或外部的噪聲進(jìn)行放大，從而使振蕩的幅度不斷增加．當(dāng)振蕩的幅度增至定程度時(shí)，振蕩器中的有源器件，其非線性特性將使得環(huán)路的增益逐漸下降，只有當(dāng)閉環(huán)的增益幅度下降為１時(shí)，振蕩信號的幅度才能穩(wěn)定．所以，實(shí)際意義的振蕩器定都是非線性系統(tǒng)．任何的線性化處理都將改變振蕩器系統(tǒng)的物理本質(zhì)．
本文引入非線性自治微分方程來描述振蕩器，提出將噪聲信號作為非線性自治微分方程的項(xiàng)來描述振蕩器的噪聲，通過建立相應(yīng)的非線性隨機(jī)微分方程來分析振蕩器的相位噪聲．對于所建模型，如何判斷其周期解的穩(wěn)定性，對于具體振蕩器模型正確性的判定具有重要意義，個(gè)具有穩(wěn)定周期解的模型才符合實(shí)際情況．對于我們所建立的振蕩器模型形式，關(guān)鍵在于分析其非線性項(xiàng)應(yīng)具有何等解析特征，才能滿足模型的周期解是穩(wěn)定的．本文以振蕩器的輸出形式出發(fā)，通過構(gòu)造周期解在相平面任意點(diǎn)處的法線方程，然后運(yùn)用Ｋｏｎｉｇｓ定理及推論，得到了所建模型非線性項(xiàng)對于周期解的穩(wěn)定性所應(yīng)滿足的條件，為模型的使用奠定了基礎(chǔ)．對于振蕩器電路系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，從節(jié)點(diǎn)處電流所應(yīng)滿足的基爾霍夫電流定律出發(fā)，將注入節(jié)點(diǎn)的電流噪聲引入微分方程，那么電流的噪聲定是以方程中項(xiàng)的形式出現(xiàn)在微分方程中，因此可以直接引入噪聲項(xiàng)ｗ（ｔ），來建立含噪聲振蕩器系統(tǒng)的隨機(jī)非線性微分方程模型是合理的．
３ 結(jié) 論
本文通過從理想振蕩器的輸出形式出發(fā)，提出了種描述振蕩器行為的統(tǒng)模型．通過對該模型中非線性項(xiàng)所應(yīng)具有的形式進(jìn)行的詳細(xì)討論，得到了該模型周期解穩(wěn)定性判別的個(gè)解析方法，即式（２５），為本文所提模型的具體使用提供了依據(jù)．但是考慮到實(shí)際振蕩器模型的非線性項(xiàng)，可能具有非常復(fù)雜的解析形式，那么本文得到的模型周期解穩(wěn)定性判別方法可能不易使用，因此進(jìn)步簡化本文所建模型周期解的穩(wěn)定性條件，或從其他角度得到等效的更為簡便的判別準(zhǔn)則將是下步的研究方向．
